...Знаю дела твои и труд твой, и терпение твое и то, что ты не
можешь сносить развратных, и испытал тех, которые называют
себя апостолами, а они не таковы, и нашел, что они лжецы...

 
на правах рекламы

Пару слов об Интерференции волн.

Автор: Admin от 5.10.2015, 10:47
 (голосов: 6)
Пару слов об Интерференции волн.

Пару слов об Интерференции волн.


Я обнаружил этот фрактал, когда разглядывал интерференцию волн на поверхности речки. Волна движется к берегу, отражается и накладывается сама на себя. Есть ли порядок в тех узорах, которые создаются волнами? Попробуем найти его. Рассмотрим не всю волну, а только вектор ее движения. "Берега" сделаем гладкими, для простоты эксперимента.

Английская версия: New kind of fractals - Fractals in relatively prime integers (coprime integers)

Статья на habrahabr.ru Фрактал Герасимова

Статья на livejournal.com Фрактал Герасимова

Эксперимент можно провести на обычном листке в клеточку из школьной тетради. Или используя javascript реализацию алгоритма: http://xcont.com/pattern.html

Возьмем прямоугольник со сторонами q и p. Отправить луч (вектор) из угла в угол. Луч двигается к одной из сторон прямоугольника, отражается и продолжает движение к следующей стороне. Это продолжается до тех пор, пока луч не попадет в один из оставшихся углов. Если размер стороны q и p - взаимно просты числа, то получается узор (как мы увидим позже - фрактал).

На картинке мы ясно видим, как работает этот алгоритм.

Пару слов об Интерференции волн.


Gif-анимация:

Пару слов об Интерференции волн.


Пару слов об Интерференции волн.


Самое удивительное то, что с разными сторонами прямоугольника - получаем разные узоры.

Пару слов об Интерференции волн. Пару слов об Интерференции волн. Пару слов об Интерференции волн.
Пару слов об Интерференции волн. Пару слов об Интерференции волн. Пару слов об Интерференции волн.
Пару слов об Интерференции волн. Пару слов об Интерференции волн. Пару слов об Интерференции волн.
Пару слов об Интерференции волн. Пару слов об Интерференции волн. Пару слов об Интерференции волн.


Почему я называю эти узоры фракталами? Как известно, "фрактал" - это геометрическая фигура, обладающая свойствами самоподобия. Часть картинки повторяет всю картинку в целом. Если значительно увеличить размеры сторон Q и P - ясно, что эти узоры обладают свойствами самоподобия.

Попробуем увеличить. Увеличивать будем хитрым способом. Возьмем, например, узор 17x29. Следующие узоры будут: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75) ...
Одна сторона: (n);
Вторая сторона: (n+1)=(n)+(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
Как числа Фибоначчи, только с другими первым и вторым членом последовательности: F(0)=17, F(1)=29.

Пару слов об Интерференции волн.

Пару слов об Интерференции волн.

Пару слов об Интерференции волн.

Пару слов об Интерференции волн.

Пару слов об Интерференции волн.

Пару слов об Интерференции волн.

Пару слов об Интерференции волн.

Пару слов об Интерференции волн.

Пару слов об Интерференции волн.

Дальше фракталы циклически повторяются.

Если большая сторона четная, получается такой узор:

Пару слов об Интерференции волн.

Если меньшая сторона четная:

Пару слов об Интерференции волн.

Если обе стороны нечетные - получаем симметрически узор:

Пару слов об Интерференции волн.

Пару слов об Интерференции волн.

В зависимости от того, как начинается луч:
Пару слов об Интерференции волн.
или
Пару слов об Интерференции волн.

Попробую объяснить, что происходит в этих прямоугольниках.

Отделим от прямоугольника квадрат, и посмотрим, что происходит на границе.

Пару слов об Интерференции волн.

Луч выходит в той-же точке, откуда зашел.

Пару слов об Интерференции волн.

При этом, количество квадратиков, которые проходит луч - всегда четное число.

Поэтому, если отрезать от прямоугольника квадрат - останется не измененная часть фрактала.

Если отделять от фрактала квадраты столько раз, сколько это возможно - можно добраться до "начала" фрактала.

Пару слов об Интерференции волн.

Похоже на спираль Фибоначчи?

Пару слов об Интерференции волн.

Из чисел Фибоначчи тоже можно получить фракталы.

В математике числами Фибоначчи (ряд Фибоначчи, последовательность Фибоначчи) называют числа:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 ...
По определению, первые две цифры в последовательности Фибоначчи 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1

Пару слов об Интерференции волн.

Поехали:

Пару слов об Интерференции волн. Пару слов об Интерференции волн. Пару слов об Интерференции волн. Пару слов об Интерференции волн. Пару слов об Интерференции волн. Пару слов об Интерференции волн.
Пару слов об Интерференции волн. Пару слов об Интерференции волн. Пару слов об Интерференции волн. Пару слов об Интерференции волн. Пару слов об Интерференции волн. Пару слов об Интерференции волн.

Как мы видим, чем ближе отношение сторон приближается к золотому сечению - тем больше детализация фрактала.

Пару слов об Интерференции волн.

При этом фрактал повторяет часть фрактала, увеличенного на Пару слов об Интерференции волн..

Вместо чисел Фибоначчи можно использовать иррациональные размеры сторон:

Пару слов об Интерференции волн.

Получим тот-же фрактал.

Те-же фракталы можно получить в квадрате, если пускать луч под другим углом:

Пару слов об Интерференции волн.

Что можно сказать в заключении?
Хаос - это тоже порядок. Со своими закономерностями. Порядок этот не изученный, но вполне поддающийся изучению. А все стремление науки - обнаружить эти закономерности. И в конечном итоге соединить детали головоломки, чтобы увидеть общую картину.
Давайте посмотрим на поверхность речки. Если бросить в нее камень - пойдут волны. Круги, вполне поддающиеся изучению. Скорость, период, длину волны - все это можно подсчитать. Но до тех пор, пока волна не дойдет до берега, не отразиться и не начнет накладываться на саму себя. Получим хаос (интерференцию), который уже трудно поддается изучению.
Что если двигаться от обратного? Упростить поведение волны на столько, на сколько это возможно. Упростить, найти закономерность и после этого попробовать описать уже полную картину происходящего.
Что можно упростить? Очевидно, что сделать отражающую поверхность прямой, без изгибов. Далее, вместо самой волны, использовать только вектор движения волны. В принципе, этого достаточно, чтобы построить простой алгоритм и смоделировать процесс на компьютере. И даже вполне достаточно, чтобы сделать "модель" поведения волны на обычном листке в клеточку.
Что имеем в результате? В результате видим, что в волновых процессах (та-же рябь на поверхности речки) имеем не хаос, а наложение фракталов (самоподобных структур) друг на друга.

Рассмотрим другой вид волн. Как известно, электромагнитная волна состоит из трех векторов - волновой вектор и вектора напряженности электрического и магнитного поля. Как видим, если "словить" такую волну в замкнутой области – там, где пересекаются эти вектора, получаем вполне четкие замкнутые структуры. Быть может, элементарные частици – это такие-же фракталы?

Пару слов об Интерференции волн.

И еще пару вкусняшек:

Все фрактальчики в прямоугольниках от 1 до 80:
Пару слов об Интерференции волн.

Замкнутые области во фракталах ("мозговые слизни" :) ):
Пару слов об Интерференции волн.

Теги: фракталы, хаос, интерференция, интерференция волн, теория хаоса, иррациональные числа, числа фибоначчи, взаимно простые числа, фрактал Герасимова

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.

Комментарии: